Z-score

Un z-score te dice qué tan extremo fue un movimiento diario en comparación con los movimientos “normales” dentro de la misma ventana.

Convierte retornos a “cuántas desviaciones estándar está lejos del promedio”:

$$z_t = \frac{\ell_t - \mu}{\sigma}$$

Donde:

• $\ell_t$ es el retorno logarítmico diario,
• $\mu$ es el promedio de retornos logarítmicos diarios en la ventana,
• $\sigma$ es la desviación estándar de retornos logarítmicos diarios en la ventana.

Calculamos los retornos logarítmicos como:

$$\ell_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$$

Qué significan “2σ” y “3σ”

• Un día -2σ es un día donde $z_t \le -2$ (una gran caída).
• Un día +2σ es un día donde $z_t \ge 2$ (una gran subida).
• Un día |3σ| es un día donde $|z_t| \ge 3$ (un movimiento extremo en cualquiera de las dos direcciones).

Si los retornos fueran perfectamente normales (no lo son), esperarías aproximadamente:

• ~4.6% de días más allá de |2σ| (dos colas),
• ~0.27% de días más allá de |3σ| (dos colas).

Cómo usamos z-scores en Gale Finance

En páginas de comparación y scorecards usamos z-scores para marcar “eventos sigma”:

• Días de cola (baja / alza). Conteo de días por debajo de $-2\sigma$ y por encima de $+2\sigma$ en la serie de retornos logarítmicos diarios de cada activo.
• Días |z| > 3σ (observado vs esperado). Un chequeo rápido: cuántos días extremos ocurrieron vs cuántos predeciría una normal para el mismo número de observaciones.

Como mostramos por separado los conteos de cola baja y alza, la tasa “esperada” normal es de una cola (~2.3% más allá de +2σ o por debajo de −2σ).

Esto es deliberadamente simple. No es un modelo. Es una forma legible de ver si una distribución de retornos se comporta “más o menos normal” o si tiene colas gruesas.

Advertencias importantes

• Depende de la ventana. Cambias la ventana y cambian $\mu$ y $\sigma$ — así que cambian los z-scores.
• Las colas gruesas hacen que el lenguaje “σ” sea optimista. Si un activo tiene colas gruesas, los eventos “3σ” ocurren con más frecuencia de lo que sugiere una normal.
• No es un pronóstico. Es descriptivo: resume lo que pasó en la ventana elegida.

Si te importa “¿estos activos se caen juntos?”, combínalo con dependencia de cola (co-movimientos a la baja).