Z-score

Um z-score mostra quão extremo foi um movimento diário em comparação com os movimentos “normais” dentro da mesma janela.

Ele transforma retornos em “quantos desvios padrão de distância da média”:

$$z_t = \frac{\ell_t - \mu}{\sigma}$$

Onde:

• $\ell_t$ é o retorno logarítmico diário,
• $\mu$ é a média dos retornos logarítmicos diários na janela,
• $\sigma$ é o desvio padrão dos retornos logarítmicos diários na janela.

Calculamos retornos logarítmicos como:

$$\ell_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$$

O que “2σ” e “3σ” significam

• Um dia -2σ é um dia em que $z_t \le -2$ (uma grande queda).
• Um dia +2σ é um dia em que $z_t \ge 2$ (uma grande alta).
• Um dia |3σ| é um dia em que $|z_t| \ge 3$ (um movimento extremo em qualquer direção).

Se os retornos fossem perfeitamente normais (não são), você esperaria aproximadamente:

• ~4.6% dos dias além de |2σ| (duas caudas),
• ~0.27% dos dias além de |3σ| (duas caudas).

Como usamos z-scores na Gale Finance

Em páginas de comparação e scorecards, usamos z-scores para sinalizar “eventos sigma”:

• Dias de cauda (queda / alta). Contagem de dias abaixo de $-2\sigma$ e acima de $+2\sigma$ na série de retornos logarítmicos diários de cada ativo.
• Dias |z| > 3σ (observado vs esperado). Um check rápido: quantos dias extremos aconteceram vs quantos uma normal “esperaria” para o mesmo número de observações.

Como mostramos separadamente os dias de cauda de queda e de alta, a taxa “esperada” normal é de uma cauda (~2.3% além de +2σ ou abaixo de −2σ).

Isso é deliberadamente simples. Não é um modelo. É uma forma legível de ver se a distribuição de retornos está “mais ou menos normal” ou se está mostrando caudas grossas.

Alertas importantes

• Depende da janela. Mude a janela e $\mu$ e $\sigma$ mudam — então os z-scores mudam também.
• Caudas grossas tornam a linguagem “σ” otimista. Se um ativo tem caudas grossas, eventos “3σ” acontecem com mais frequência do que uma normal sugeriria.
• Não é previsão. É descritivo: resume o que aconteceu na janela escolhida.

Se você quer saber “esses ativos caem juntos?”, combine isso com dependência de cauda (co-movimentos de queda).